לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1 : נניח כי ל K יש תומך סופי } ik.s = {p i1, p i2,..., p מההנחה, לכל z z, שמזדהות על האטומים ב S מתקיים. K z K נפריד למקרים: (א) = K: ראינו כי היא גדירה על ידי {( 0 p) 0 p }, כלומר ע"י קבוצה סופית. (ב) K: = Ass ראינו כי היא גדירה על ידי } 0 p}, 0 p כלומר ע"י קבוצה סופית. (ג) :K, Ass ראשית נראה כי S: נניח בשלילה כי = S, לכן לכל שתי השמות מתקיים באופן ריק ש z,z מסכימות על כל הפסוקים ב S, ולכן או שכל זוג השמות שייך ל K (ואז K) = Ass או שכל זוג השמות לא שייך ל K (ואז = K). לכן S וניתן להגדיר עבור כל z את הפסוק הבא: α z = p j p j j S and z =p j j S and z =p j מטבלת האמת של מתקיים.z = α z נגדיר כעת K}.Σ K = {α z z לכל K מתקיים ש { Ass,Σ K Σ Ass = {α z z ומכיוון ש S Σ Ass = 2 נובע כי Σ K סופית..α K = α Σ K כעת מכיוון ש K ניתן להגדיר α נראה ש } K α} מגדירה את K ובכך נוכיח ש K גדירה באופן סופי:. = כך ש α α Σ K ולכן קיים, = α K כלומר, M ({α K }) יהי :M ({α K }) K מהגדרת,Σ קיים z K כך ש α.z = מהגדרת α ומטבלת האמת של נובע כי, z מסכימות על כל הפסוקים ב S. מהגדרת תומך סופי,. K.z K יהי :K M ({α K }) מהגדרת Σ קיים α כך ש α z. = מהגדרת α K ומטבלת האמת של נקבל.z = α K לכן, }) K.z M ({α : נניח ש K גדירה באופן סופי ע"י קבוצת פסוקים Σ. עבור α Σ נסמן ב ( α ) Var את קבוצת הפסוקים האטומים המופיעים ב α. נגדיר: S = α Σ Var (α) נוכיח ש S תומך סופי: S סופית: לכל α מתקיים ש (α) Var סופית (כי α סופי). לכן, S סופית כאיחוד סופי של קבוצות סופיות. S תומך ל K : יהיו שתי השמות z,z שמזדהות על כל האטומים ב S. נפריד למקרים: אם Σ :z K מגדירה את K ולכן,z = Σ כלומר לכל α Σ מתקיים.z = α נראה שלכל α Σ מתקיים = α ולכן ינבע = Σ ו K כנדרש. יהי α. Σ מתקיים z. = α מהגדרת S מתקיים שכל האטומים ששייכים ל α נמצאים ב S, לכן z מזדהה עם z על כל האטומים ב α וממשפט התלות הסופית אם z = α אז גם z, = α כנדרש. אם Σ :z / K מגדירה את K ולכן,z = Σ כלומר קיים α Σ כך ש α.z = נראה ש α, = ומכך ינבע = Σ ו K, / כנדרש. מתקיים z. = α מהגדרת S מתקיים שכל האטומים ששייכים ל α נמצאים ב S, לכן z מזדהה עם z על כל האטומים ב α וממשפט התלות הסופית אם z = α אז גם z, = α כנדרש. 1
1. 2. נניח בשלילה כי K גדירה, ותהי X קבוצת הפסוקים המגדירה אותה, כלומר M. (X) = K.2 נבחר 0} = ) i, Y = {p i z (p i ) = 1} { p i z (p מתקיים {z} M (Y ) = (ש"ב.(7.3 נראה X Y אינה ספיקה: נתון.M (X Y ) = M (X) M (Y ) = K {z} = z / K נראה X Y ספיקה: לפי משפט הקומפקטיות X Y ספיקה אמ"מ כל תת"ק סופית שלה היא ספיקה. 4. תהי D תת קבוצה סופית של X, Y נראה שהיא ספיקה. נסמן: D X = D X ו.D Y = D Y D Y סופית, ולכן היא מהצורה } jm.d Y = {p i1,... p in } { p j1,..., p מכיוון ש D D Y ו D סופית, אז גם.C = {p i p i D Y נסמן ב C את קבוצת האטומים שמופיעים ב,D Y כלומר, } Y p i D או על האטומים ב C. z שמסכימה עם z C K קבוצה סופית ולכן מההנחה קיימת C,α D Y לכן קיים j N כך ש α = p j או.α = p j :z C = D Y יהי נראה z C מתקיים ) j z C (p j ) = z (p ולכן ממשפט התלות הסופית מתקיים p j ולכן לפי בחירת מתקיים C.z C (α) = z (α) (D Y ולכן מתקיים גם z C z C = α מספקת,z = D Y מכיוון ש D מתקיים z = α (כי z = Y ובפרט.D Y את נראה z C K :z C = D X מבחירת z C = X z C M (X) z C מכיוון ש X,D X מתקיים.z C = D X בסך הכל קיבלנו כי,z C = D X D Y = D כלומר D ספיקה. 3 5. ו 4 הם סתירה, ולכן K אינה גדירה. 3. (א) נוכיח את הטענה באינדוקציה על מבנה שם העצם t. כזכור הבסיס הם המשתנים v i וסימני הקבוע c, i וקבוצת הפעולות היא קבוצת סימני הפונקציה במילון. בסיס: נפריד למקרים: i v i :t = v הוא המשתנה היחיד המופיע ב t. יהיו z 1, z 2 שתי השמות כך ש (.z 1 (v i ) = z 2 (v i ואכן מתקיים מהגדרת השמה מורחבת: z 1 (v i ) = z 1 (v i ) = z 2 (v i ) = z 2 (v i ) t: = c i ב t אין משתנים כלל. ואכן לכל שתי השמות z 1, z 2 מתקיים מהגדרת השמה מורחבת: z 1 (c i ) = c M i = z 2 (c i ) הנחת האינדוקציה: יהיו t 1,..., t n שמות עצם כך ש z 1, z 2 מזדהות על כל המשתנים שבהם ו ) i z 1 (t i ) = z 2 (t לכל i n.1 סגור: יהי F סימן פונקציה k מקומית במילון. מתקיים: z 1 (F (t 1,..., t n )) = F M (z 1 (t 1 ),..., z 1 (t n )) = F M (z 2 (t 1 ),..., z 2 (t n )) = z 2 (F (t 1,..., t n )) כאשר השוויון המרכזי נובע מהנחת האינדוקציה, ושני השוויונות הקיצוניים נובעים מההגדרה של השמה מורחבת. (ב) תהיינה z 1, z 2 זוג השמות כנ"ל. נוכיח שלכל נוסחה M = z1 α אם ורק אם M = z2 α באינדוקציה על מבנה הנוסחה.α בסיס: נפריד למקרים: 2
) n α = R (t 1,..., t כאשר t 1,..., t n שמות עצם ו R סימן יחס n מקומי במילון: המשתנים המופיעים בנוסחה α הם המשתנים המופיעים בשמות העצם t 1,..., t n ועל כן מסעיף א', = ) i z 1 (t ) i z 2 (t לכל i n.1 מכאן נובע כי (z 1 (t 1 ),..., z 1 (t n )) R M (z 2 (t 1 ),..., z 2 (t n )) R M ועל כן ) n M = z1 R (t 1,..., t אם ורק אם ) n,m = z2 R (t 1,..., t כנדרש. α = t 1 t 2 כאשר t 1, t 2 שמות עצם: כמו קודם, המשתנים המופיעים בנוסחה α הם המשתנים המופיעים בשמות העצם t 1, t 2 ועל כן מסעיף א', ) i z 1 (t i ) = z 2 (t לכל 2 i.1 מכאן נובע כי z 1 (t 1 ) = z 1 (t 2 ) z 2 (t 1 ) = z 2 (t 2 ) ועל כן M = z1 t 1 t 2 אם ורק אם,M = z2 t 1 t 2 כנדרש. הנחת האינדוקציה: תהיינה β, γ נוסחאות מעל τ כך שלכל משתנה v i המופיע בהן, ) i.z 1 (v i ) = z 2 (v וכך ש.M = z2 γ אם ורק אם M = z1 γ וכן M = z2 β אם ורק אם M = z1 β סגור: נפריד למקרים: בדיוק המשתנים שמופיעים ב β. הם המשתנים ב α α: = β בנוסף, M = z1 α אם ורק אם.M = z1 β מהנחת האינדוקציה, זה מתקיים אם ורק אם, M = z2 β כלומר אם ורק אם M. = z2 α ב γ. או בדיוק המשתנים שמופיעים ב β הם המשתנים ב α α: = β γ בנוסף, M = z1 α אם ורק אם M = z1 β וגם.M = z1 γ מהנחת האינדוקציה, זה מתקיים אם ורק אם M = z2 β וגם M, = z2 γ כלומר אם ורק אם M. = z2 α ב γ. או בדיוק המשתנים שמופיעים ב β הם המשתנים ב α α: = β γ בנוסף, M = z1 α אם ורק אם M = z1 β או.M = z1 γ מהנחת האינדוקציה, זה מתקיים אם ורק אם M = z2 β או M, = z2 γ כלומר אם ורק אם M. = z2 α ב γ. או בדיוק המשתנים שמופיעים ב β הם המשתנים ב α α: = β γ בנוסף, M = z1 α אם ורק אם (אם M = z1 β אז.(M = z1 γ מהנחת האינדוקציה, זה מתקיים אם ורק אם (אם M = z2 β אז M), = z2 γ כלומר אם ורק אם M. = z2 α.m zj[v i d] = β,d D M אם ורק אם לכל M = zj α,j עבור = 1, 2 :α = v i β נביט בהשמות המתוקנות d] z j z j [v i (עבור = 1, 2.(j נשים לב שההשמות הנ"ל מקיימות שלכל v k המופיע ב β,.z 1 (v k ) = z 2 (v k ) זאת כיוון שלכל,v k v i z 1 (v k ) = z 1 (v k ) = z 2 (v k ) = z 2 (v k ) (כאשר אי השוויון האמצעי נובע מההנחה ש z 1, z 2 מסכימות על כל המשתנים האטומיים ב α, ואילו אי השוויונות הקיצוניים נובעים מההגדרה של השמה מתוקנת), ואילו עבור v k = v i נקבל מהגדרת ההשמה המתוקנת. 1 (v k ) = d = 2 (v k ).M = z2 α אם ורק אם M = z1 α ולכן, M = 2 β אם ורק אם M = 1 לכן, מהנחת האינדוקציה, β.m zj[v i d] = β,d D M אם ורק אם קיים M = zj α,j עבור = 1, 2 :α = v i β M = 1 בדומה למקרה הקודם נקבל כי לכל v k המופיע ב β,,z 1 (v k ) = z 2 (v k ) ולכן מהנחת האינדוקציה, β.m = z2 α אם ורק אם M = z1 α ולכן, M = 2 אם ורק אם β חלק שני: שאלות להגשה 4. (א) 1. נניח בשלילה כי K גדירה, ותהי X קבוצת הפסוקים המגדירה אותה, כלומר M. (X) = K 3
.2 נבחר N}, Y = { p i i מתקיים } 0.M (Y ) = {z.3 נראה X Y אינה ספיקה: z 0 נותנת ערך 1 לאפס אטומים ובפרט לא ל n (n N + ) לפחות, ולכן z 0 / K.M (X Y ) = M (X) M (Y ) = K {z 0 } = 4. נראה X Y ספיקה: לפי משפט הקומפקטיות מספיק להראות שכל תת קבוצה סופית של X Y ספיקה. תהי D תת קבוצה סופית של X, Y נראה שהיא ספיקה. נסמן: D X = D X ו.D Y = D Y מכיוון ש D D Y ו D סופית, אז גם D Y סופית, ולכן היא מהצורה } ik.d Y = { p i1,..., p נגדיר: m האינדקס המקסימלי ב D Y (אם = Y,D נבחר = 0 (m מאחר ש D Y סופית קיים m כזה. נגדיר השמה z באופן הבא: 0, i m z(p i ) = 1, i > m נראה :z = D Y יהי,α D Y לכן קיים j N כך ש α = p j כאשר,j m ולכן z z = α מספקת את.D Y נראה z K :z = D X מכיוון שהיא נותנת ערך 1 לאינסוף אטומים, ובפרט ל n לפחות (X) z M.z = D X מתקיים,D X מכיוון ש X z = X בסך הכל קיבלנו כי,z = D X D Y = D כלומר D ספיקה. 3 5. ו 4 הם סתירה, ולכן K אינה גדירה. (ב) הוכחה: יהי + N.n נגדיר: 1} = ) i.σ z,n = {p i+n z (p נוכיח M (Σ z,n ) = K z,n באמצעות הכלה דו כיוונית:. K z,n (p i+n ) מתקיים = 1 z (p i ) כך ש = 1 i N לכל = α :α Σ z,n לכל = Σ z,n (ג) נסמן.z = z 0 נראה ש n N K + z,n גדירה: ראשית, נראה ש n N K + z,n = Ass ע"י הכלה דו כיוונית:. Ass היא השמה ולכן n N K + z,n כל : n N K + z,n Ass. (p i+1 ) אז = 1 z 0 (p i ) מתקיים באופן ריק: אם = 1,i N לכל. Ass תהי :Ass n N K + z,n לכן, לפי הגדרה z,1 K ומהגדרת איחוד. n N K + z,n כפי שראינו בתרגול, הקבוצה Ass גדירה, למשל באמצעות } 1 Σ = {p 1 p ולכן גם n N K + z,n גדירה. (ד) נסמן. z = z 1 נראה ש n N K z,n אינה גדירה:.1 נניח בשלילה כי n N K + z,n גדירה, ותהי X קבוצת הפסוקים המגדירה אותה, כלומר.M (X) = n N K + z,n.2 נבחר N}, Y = { p i i מתקיים } 0.M (Y ) = {z.3 נראה X Y אינה ספיקה: נראה כי לא קיים + N n שעבורו :z 0 K z,n נניח בשלילה כי קיים + N n שעבורו.z 0 K z,n מתקיים = 1 ) 0 z 1 (p ולכן בהכרח מתקיים = 1 ) 0+n z 0 (p אבל זה לא מתקיים מכיוון ש 0 = ) n z. 0 p) לכן מהגדרת איחוד,.M (X Y ) = M (X) M (Y ) = n N K + z,n {z 0 } = z 0 / n N K + z,n 4. נראה X Y ספיקה: לפי משפט הקומפקטיות מספיק להראות שכל תת קבוצה סופית של X Y ספיקה. תהי D תת קבוצה סופית של X, Y נראה שהיא ספיקה. נסמן: D X = D X ו.D Y = D Y מכיוון ש D D Y ו D סופית, אז גם D Y סופית, ולכן היא מהצורה } ik.d Y = { p i1,..., p 4
D Y ריקה, נגדיר = 0.(m נגדיר השמה z באופן הבא: p m D Y (אם יהי m האינדקס המקסימלי שעבורו 0, i m (p i ) = 1, i > m נראה : = D Y יהי,α D Y לכן קיים j m כך ש.α = p j מתקיים = 1 ) j. (α) = ( p מכאן.D Y מספקת את = α נראה : = D X נוכיח z,k+1 : K לכל i N מתקיים אם = 1 ) i z (p אז = 1 ) i+m+1 (p שכן = 1 ) j (p לכל.j m + 1 מהגדרת איחוד. n N K + z,n לכן = X מכיוון ש X,D X מתקיים. = D X בסך הכל קיבלנו כי, = D X D Y = D כלומר D ספיקה. 3.5 ו 4 הם סתירה, ולכן n N K + z,n אינה גדירה. 5. (א) הטענה נכונה, נראה שהפסוק ϕ 1 הוא אמת לוגית. יהיו M מבנה מעל τ ו z השמה. M = z ϕ 1 M = z R (v 1, v 2 ) או M = z R (v 1, v 2 ) M = z R (v 1, v 2 ) או M = z R (v 1, v 2 ).(z (v 1 ), z (v 2 )) R M או (z (v 1 ), z (v 2 )) R M מכיוון שאחד מהם תמיד מתקיים, M ו z מספקות את ϕ. 1 (ב) הטענה נכונה, נראה שהפסוק ϕ 2 הוא אמת לוגית. יהיו M מבנה מעל τ ו z השמה. M = z ϕ 2 אם ) 2 M = z v 1 v 2 R (v 1, v אז M = z v 1 v 2 R (F (v 1 ), F (v 2 )) M = z [v1 d 1 ] [v 2 d 2 ] אם לכל R (v 1, v 2 ),d 1, d 2 DM M = z [v1 d 3 ] [v 2 d 4 ] אז לכל R (F (v 1 ), F (v 2 )),d 3, d 4 DM אם לכל ( (v 1 ), (v 2 )) R M,d 1, d 2 D M אז לכל ( (F (v 1 )), (F (v 2 ))) R M,d 3, d 4 D M אם לכל (d 1, d 2 ) R M,d 1, d 2 D M אז לכל ( F M (d 3 ), F M (d 4 ) ) R M,d 3, d 4 D M וזה מתקיים כי אם ההנחה מתקיימת אז המסקנה מתקיימת עבור ) 3 d 1 = F M (d ו (.d 2 = F M (d 4 (ג) הטענה אינה נכונה, הפסוק אינו אמת לוגית. נראה דוגמה נגדית, כלומר נראה שקיים מבנה M והשמה z שאינם מספקים אותו: i. נבחר מבנה והשמה: א'. נגדיר M M = {0, 1}, {(0, 0)}, F כאשר = 0 (n) F M לכל.n N ב'. תהי z השמה המקיימת = 0 ) i z v) לכל i (נעיר כי ϕ 3 פסוק ולכן ערך האמת אינו תלוי בהשמה, ולכן כל השמה תתאים, אך בדוגמה נגדית יש לבחור פירוש לכל הסימנים)..ii (אין תנאים לטענה). M: = z נראה שמסקנת הטענה לא מתקיימת כלומר ש ϕ 3.iii נניח בשלילה.M = z ϕ 3 מתקיים: M = z ϕ 3 אם )) 2 M = z v 1 v 2 R (F (v 1 ), F (v אז ) 2 M = z v 1 v 2 R (v 1, v 5
M = z [v1 d 1 ] [v 2 d 2 ] אם לכל R (F (v 1 ), F (v 2 )),d 1, d 2 DM M = z [v1 d 3 ] [v 2 d 4 ] אז לכל R (v 1, v 2 ),d 3, d 4 DM אם לכל ( (F (v 1 )), (F (v 2 ))) R M,d 1, d 2 D M אז לכל ( (v 1 ), (v 2 )) R M,d 3, d 4 D M אם לכל ( F M (d 1 ), F M (d 2 ) ) R M,d 1, d 2 D M אז לכל (d 3, d 4 ) R M,d 3, d 4 D M אם לכל R M,d 1, d 2 D M 0) (0, אז לכל.(d 3, d 4 ) R M,d 3, d 4 D M הטענה הזאת אינה מתקיימת מכיוון שהתנאי מתקיים אבל המסקנה לא מתקיימת כי / R M (1, 1 ) בסתירה. (ד) הטענה אינה נכונה, הפסוק אינו אמת לוגית. נראה דוגמה נגדית, כלומר נראה שקיים מבנה M והשמה z שאינם מספקים אותו: i. נבחר מבנה והשמה: א'. נגדיר M M = {0, 1}, {(0, 0), (1, 1)}, F כאשר = 0 (n) F M לכל.n N ב'. תהי z השמה המקיימת = 0 ) i z v) לכל i (נעיר כי ϕ 4 פסוק ולכן ערך האמת אינו תלוי בהשמה, ולכן כל השמה תתאים, אך בדוגמה נגדית יש לבחור פירוש לכל הסימנים)..ii (אין תנאים לטענה). M: = z נראה שמסקנת הטענה לא מתקיימת כלומר ש ϕ 4.iii נניח בשלילה.M = z ϕ 4 מתקיים: M = z ϕ 4 אם ) 2 M = z v 1 v 2 R (v 1, v אז ) 3 M = z v 3 v 4 R (v 4, v M = z [v1 d 1 ] [v 2 d 2 ] אם לכל d 1 DM קיים d 2 DM כך ש ) 2 R (v 1, v M = z [v3 d 3 ] [v 4 d 4 ] אז קיים d 3 DM כך שלכל R (v 4, v 3 ),d 4 DM אם לכל d 1 D M קיים d 2 D M כך ש ( (v 1 ), (v 2 )) R M אז קיים d 3 D M כך שלכל,d 4 D M ( (v 4 ), (v 3 )) R M אם לכל d 1 D M קיים d 2 D M כך ש (d 1, d 2 ) R M אז קיים d 3 D M כך שלכל,d 4 D M.(d 4, d 3 ) R M הטענה הזאת אינה מתקיימת מכיוון ש: א'. התנאי מתקיים: עבור = 0 1 d קיים = 0 2 d כך ש R M 0) (0, ועבור = 1 1 d קיים = 1 2 d כך ש R M 1).(1, ב'. המסקנה לא מתקיימת: לא קיים d 3 כנדרש: עבור = 0 3 d קיים = 1 4 d כך ש / R M 0) (1, ועבור = 1 3 d קיים = 0 4 d כך ש / R M 1).(0, כלומר הגענו לסתירה..6 (א) נגדיר )) 2.ϕ 1 (v 1, v 2 ) = (F (v 1 ) F (v לכל השמה z מתקיים: M z (F (v 1 ) F (v 2 )) z (F (v 1 )) = z (F (v 2 )) F M (z (v 1 )) = F M (z (v 2 )) z (v 1 ) 1 z (v 1 ) 2... = z (v 2 ) 1 z (v 2 ) 2... z (v 2 ) i = z (v 1 ) i לכל + N :i (z (v 1 ), z (v 2 )) R 1 (ב) נגדיר ) 2.ϕ 2 (v 1 ) = v 2 R (v 1, v 6
לכל השמה z מתקיים: M z v 2 R (v 1, v 2 ) M = z [v2 d] לכל R (v 1, v 2 ) :d DM לכל ( (v 1 ), (v 2 )) R M :d D M ( (v 1 ), d) R M לכל :d D M לכל d D M ולכל d i :i N לכל :i N 0 לכל :i N 0 =.z (v 1 ) R 2 (ג) נגדיר ))) 2.ϕ 3 (v 1 ) = ϕ 2 (v 1 ) v 2 (R (v 2, v 1 ) ((v 2 v 1 ) ϕ 2 (v לכל השמה z מתקיים: M z ϕ 2 (v 1 ) v 2 (R (v 2, v 1 ) ((v 2 v 1 ) ϕ 2 (v 2 ))) M z ϕ 2 (v 1 ) וגם M z v 2 (R (v 2, v 1 ) ((v 2 v 1 ) ϕ 2 (v 2 ))) M z ϕ 2 (v 1 ) וגם (M = z [v2 d] (לכל R (v 2, v 1 ) ((v 2 v 1 ) ϕ 2 (v 2 )) :d DM (לכל :d D M אם ) 1 M = R (v 2, v אז ) 2 (M = (v 2 v 1 ) ϕ 2 (v וגם z (v 1 ) / R 2 (לכל :d D M אם ( (v 2 ), (v 1 )) R M אז ) ) 1 M = (v 2 v או ) 2 ( M = ϕ 2 (v וגם ) 1 z (v b zero (לכל :d D M אם (d, z (v 1 )) R M אז ) ) 1 (v 2 ) = (v או ( (v 2 ) R 2 וגם z (v 1 ) b zero ( ) z (v 1 ) b zero וגם ( d = b zero או d = z (v 1 ) אז (d i z (v 1 ) i (לכל :d D M אם (לכל i N מתקיים קיים i N יחיד שעבורו = 1 d D M שמקיים שלכל i N מתקיים.z (v 1 ) R 3 ( ) נובע מכיוון ש z (v 1 ) b zero ואם ל ( z (v 1 היו שני 1 ים אז קיים.(z (v 1 הוא אחד מהוקטורים שמכילים רק אחד מה 1 ים ב ( d) d z (v 1 ו ( d b zero אבל d i z (v 1 ) i 7